Июн 232020
 

Приветствую, друзья. С Вами Тимур Гаранин.

Два самых частых вопроса, которые мне задают со времени публикации книги «Фрактальные антенны и линии задежки» —
Как рассчитывается скорость распространения сигнала в полотне антенны
И больше примеров расчёта фрактальных антенн на заданные характеристики.

Начнём, пожалуй, с более простого.

Со школы нам известна формула, однозначно связывающая три параметра – скорость распространения сигнала, частоту и длину волны:

v=λf

В свободном пространстве сигнал распространяется со скоростью света, но в полотне линейной антенны чуть медленней.

Один из подписчиков канала, Владислав Молодцов, не поленился и провёл на практике расчёт скорости распространения сигнала в четвертьволновом отрезке.

Длина отрезка 26.6 м, резнансная частота составила 2.8 МГц.

Зная длину волны 26.6*4 = 106,4 м и частоту, мы с лёгкостью находим скорость распространения сигнала в полотне:

v=λf=106.4 м * 2.8 МГц = 297.92 мегаметров в секунду

Как видим, в полотне линейного вибратора скорость распространения сигнала чуть меньше скорости света в вакууме. И это нормально.

Затем Владислав провёл следующий этап эксперимента. Это же полотно свернул в спираль и измерил резонансную частоту. Она составила 4.85 МГц. Т.е. почти в два раза больше.

В этом случае скорость распространения сигнала в полотне составит:

v=λf=106.4*4.85 = 516,04 мегаметров в секунду.

А это уже заметно больше, чем скорость света в вакууме. Как же это объясняется, неужели такое возможно?

Измерения абсолютно корректны, и никаких противоречий с точки зрения физики здесь нет. Всё дело в том, что, когда полотно свёрнуто в спираль, сигнал имеет возможность распространяться между сегментами полотна через емкостные связи между ними.

Знаю людей, которые глубоко убеждены в том, что как бы мы не изгибали полотно, это не повлияет на резонансную частоту, а роль емкостных связей исчезающе мала.
Это заблуждение. Емкостные связи между элементами антенны имеют сильное значение. Их нужно учитывать как при проектировании линейных антенн, так и в особенности при создании фрактальных антенн.

В своё время ходили перестраиваемые антенны на основе спиральных пружин. Этот пример хорошо показывает, что при одинаковой длине проводника, резонансная частота будет менятся в зависимости от того, насколько эту пружину растянули. Между прочем, конструкция имеет право на жизнь как в меру компактная перестраиваемая антенна с удовлетворительным усилением.

На что ещё хочется обратить внимание, так это на то, что полотно антенны, свёрнутое в спираль, ведёт себя не просто как индуктивность с сосредоточенными параметрами, а именно как длинная линия.

У такой длинной линии, свёрнутой в спираль, будет несколько резонансов, так же как у линейной длинной линиии.

Это отличает такую спиральную линию от бифилярной катушки, которую мы рассматривали в ролике о ТРАП-антеннах. Бифилярная катушка будет иметь один чёткий резонанс, обусловленный сосредоточенными индуктивностью и ёмкостью между витками половин обмотки.

А у сосредоточенной индуктивности на ферромагнитном сердечнике вообще никаких резонансов не будет. Реактивное сопротивление сосредоточенной индуктивности будет просто расти с частотой.

Но вернёмся к основной теме и подытожим. В линейном полотне сигнал распространяется со скоростью чуть меньше скорости света в вакууме, а в нелинейном полотне сигнал может распространяться быстрее скорости света, благодаря тому, что между участками полотна существуют емкостные связи, через которые распространяется сигнал.

При проектировании фрактальных антенн эти емкостные связи определяют частотный коэффициент, т.е. отношение между резонансной частотой у линейной антенны определённого габарита и частотой резонанса у фрактальной антенны этого же габарита.

В первом приближении частотный коэффициент зависит от размерности фрактала и количества итераций. Но при изготовлении реальной антенны возникают ещё такие параметры как толщина и ширина дорожек, либо диаметр проводника проволочной фрактальной антенны.

 

Ну а теперь перейдём к самому интересному, давайте спроектируем фрактальную антенну на заданный частотный диапазон. В книге я уже показывал, как определять характеристики антенны, начиная с основной, т.е. нижней, частоты. А сейчас рассчитаем антенну, начиная с верхней частоты.

Будем делать рамочную антенну.

На частотный диапазон 100 МГц – 10 ГГц.

К сторонам рамочной антенны будем применять фрактал треугольник Коха с углом 90°, его легко рассчитывать, у него размерность ровно 2.

Обычно рамочная антенна проектируется в положении квадрат. Однако, обратите внимание на то, что, применяя фрактал к сторонам такой антенны, точка подключения углубляется в центр структуры. Это очень неудобно, и более того делает невозможным последовательное включение таких рамочных антенн, которое иногда нужно для увеличения входного сопротивления.

Поэтому мы развернём рамку в положение ромб. Принцип действия не изменится, зато независимо от количества итераций точка подключения будет на краю фрактальной структуры.

Итак, начинаем расчёт от верхней частоты…

Для упрощения расчёта мы не будем учитывать коэффициент укорочения линейного полотна, обычно он равен 0.95, его будем уточнять после изготовления натурной модели.

Периметр ромба равен длине волны. Следовательно, сторона ромба равна четверти длины волны.

Верхняя частоты равна fв=10 ГГц, длина волны её равна 30 мм. Следовательно, сторона мельчайшего  ромба во фрактальной структуре равна λв/4=30/4 = 7.5 мм.

Можем себя поздравить, теперь мы знаем габариты самого мелкого элемента в антенне.

Далее рассчитаем габарит элемента следующего порядка, который ответственен за частоту fв-1. Не сложно видеть, что в этой структуре каждый следующий по размеру элемент в 4 раза больше по площади и в 2 раза больше по длине стороны относительно более мелкого.

Значит, сторона ромба fв-1 равна (λв/4)*2 = 7.5 * 2 = 15 мм.

Великолепно, теперь мы знаем габариты элемента, ответственного за частоту fв-1.

Но мало знать габарит. Нужно вычислить саму эту частоту. Для этого произведём следующие расчёты.

Сначала вычислим размерность фрактала, она равна двум, т.к. в габарите треугольника Коха с углом 𝛼 = 90° умещается две его длины

Далее смотрим, сколько итераций фрактала содержит данный элемент. Всего одну.

Зная количество итераций и размерность фрактала, вычислим частотный коэффициент:

 Отлично. Зная частотный коэффициент, мы можем  рассчитать частоту этого фрактального элемента, исходя из частоты линейного элемента такого же габарита.

Т.к. четверть периметра равна 15 мм, то весь периметр равен 15*4=60 мм. Частота, соответствующая этой длине волны равна 5 ГГц, что вполне логично.

Но, т.к. у нас не линейная структура, а фрактальная, мы применяем частотный коэффициент и выясняем, что частота фрактальной антенны с таким же габаритом равна

5*0.65 ≈ 3.26 ГГц,

Т.е. ниже, чем у линейной антенны тех же габаритов, что тоже логично, т.к. фрактальная антенна имеет более длинное полотно за счёт дополнительных участков.

Снова поздравим себя, мы вычислили частоту резонанса данного элемента фрактала.

А сейчас мы вычислим соотношение между верхней частотой и верхней минус 1.

fв / fв-1 = 10 ГГц / 3.26 ГГц ≈ 3.07

Видим, что соседние резонансные частоты отличаются примерно в три раза.

Давайте проверим это соотношение, вычислив следующую частоту вниз, для элемента fв-2.

Сторона этого элемента будет равна уже 30 мм. Периметр — 120 мм. Частота линейной антенны с длиной волны 120 мм равна 2.5 ГГц.

Частотный коэффициент для второй итерации фрактала с размерностью 2 равен

Следовательно, частота фрактальной антенны с этими габаритами равна

fв-2 = 2.5*0.43 = 1.07 ГГц

Вычислим соотношение между соседними частотами:

fв-1 / fв-2 = 3.26 ГГц / 1.07 ГГц = 3,05

Видим, что соотношение между частотами отличается. Это печально, т.к. не имея постоянного соотношения, нам придётся каждую резонансную частоту рассчитывать отдельно.

Рассчитаем fв-3. Габарит элемента равен 60 мм, периметр — 240 мм, частота линейной антенны такого габарита — 1.25 ГГц, количество итераций — 3.

Частотный коэффициент

Частота фрактальной антенны такого габарита

fв-3 = 1.25 ГГц * 0.325 = 0.406 ГГц = 406 МГц.

Соотношение между соседними частотами:

fв-2 / fв-3 = 1.07 / 0.406 = 2.64

Как видим, соотношение между соседними резонансами не только не постоянно, но и уменьшается с ростом итераций.

Рассчитаем следующую частоту вниз fв-4. Габарит элемента равен 120 мм, периметр — 480 мм, частота линейной антенны такого габарита — 630 МГц, количество итераций — 4.

Частотный коэффициент

Частота фрактальной антенны такого габарита

fв-4 = 630 * 0.266 = 168 МГц.

Соотношение между соседними частотами:

fв-3 / fв-4 = 406 / 168 = 2.42

 Итак, мы дошли до частоты 168 МГц. Это немного выше нижней частоты заданного диапазона, 100 МГц. В данной ситуации мы можем либо оставить расчёт в таком виде, либо подогнать габарит антенны и угол 𝛼 для соответствия нижней частоте, либо последовательно включить дополнительный элемент фрактала, либо произвести ещё одну итерацию и захватить чуть больше заданного диапазона.

Я предпочту произвести ещё одну итерацию, т.к. это дополнительно увеличит усиление на верхних резонансах.

Рассчитаем частоту fв-5. Габарит элемента равен 240 мм, периметр — 960 мм, частота линейной антенны такого габарита — 310 МГц, количество итераций 5.

Частотный коэффициент

Частота фрактальной антенны такого габарита

fв-5 = 310 * 0.229 = 70,9 МГц.

Соотношение между соседними частотами:

fв-4 / fв-5 = 168 / 71 = 2.37

Мы достигли нижней частоты 71 МГц. При этом габарит антенны составил 240 мм.

На этом стоит остановится. План по частотному диапазону мы перевыпонили, и дальнейшее увеличение габаритов уже нецелесообразно.

Проведенный расчёт является ориентировочным. Он показывает нам, где должны быть резонансы у идеальной фрактальной антенны. Но разумеется, в реальности мы идеальную геометрию получить не сможем. Если мы изготавливаем антенну на плате, то дорожки имеют и ширину и высоту, что в свою очередь влияет и на емкостные связи между дорожками и на сдвиги резонансов.

Опытная работа одного из подписчиков канала, Максима Микешина, показала, что облуживание полотна фрактальной антенны на плате значительно влияет на её характеристики, увеличивает глубину резонансов и улучшает КСВН.

Это очередной раз демонстрирует, что на характеристики конечной антенны влияет не только математический расчёт, но и её практическое исполнение.

А теперь давайте подытожим.

  1. Скорость сигнала, длина волны и частота однозначно связаны формулой v=λf
  2. Емкостные связи между участками полотна антенны позволяют сигналу перескакивать от одного сегмента к другому, тем самым увеличивая скорость распространения сигнала в полотне и повышая резонансную частоту при неизменной длине полотна.
  3. Имеющийся математический аппарат позволяет проектировать фрактальные антенны на любой частотный диапазон
  4. Соотношение частот соседних резонансов увы не постоянная величина и уменьшается с ростом количества итераций
  5. Характеристики фрактальной антенны заметно зависят от практического изготовления

На сегодня всё, дорогие друзья. Надеюсь, ролик был для Вас полезен. Если да, поддержите его, поставив лайк. И если у Вас есть вопросы, или предложения для следующих выпусков, пишите их в комментариях.

Всем удачи!

 Ответить